一.截止频率和穿越频率
在控制系统的频域分析中，截止频率和穿越频率是两个关键概念，用于描述系统频率响应的特性。它们的定义和用途有所不同，以下是详细解释：
截止频率 → 描述闭环系统或滤波器的带宽。穿越频率 → 描述开环系统的临界频率（0 dB或-180°相位点），用于稳定性分析。
1. 截止频率（Cutoff Frequency, ωc\omega_cωc）
定义：截止频率通常指系统幅频特性（即增益随频率变化的曲线）中，增益下降到 -3 dB（即幅值降至直流增益的 12≈0.707\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0.70721≈0.707 倍）时对应的频率。
对于低通系统：表示信号开始显著衰减的频率点，高于此频率的信号会被抑制。对于高通/带通系统：定义类似，但对应增益上升或下降的转折点。
物理意义：
反映系统的带宽（Bandwidth），即系统能有效传递信号的频率范围。例如，低通滤波器的截止频率越高，其通过高频信号的能力越强。
计算公式：对于一阶低通系统 G(s)=1Ts+1G(s)=\frac{1}{Ts+1}G(s)=Ts+11，截止频率为：ωc=1T(rad/s)\omega_c=\frac{1}{T}(rad/s)ωc=T1(rad/s)
2. 穿越频率（Crossover Frequency, ωc\omega_cωc 或 ωg\omega_gωg）
定义：在开环频率响应中，穿越频率是指系统增益（幅值）等于 1（0 dB） 时的频率。
增益穿越频率（Gain Crossover Frequency）：∣G(jωc)∣=1|G(j\omega_c)|=1∣G(jωc)∣=1。相位穿越频率（Phase Crossover Frequency, ωp\omega_pωp）：相位角 ϕ(ωp)=−180°\phi(\omega_p)=-180°ϕ(ωp)=−180° 时的频率（用于计算幅值裕度）。
物理意义：
增益穿越频率 ωc\omega_cωc 是计算**相位裕度（PM）**的基础（PM = 180°+ϕ(ωc)180° + \phi(\omega_c)180°+ϕ(ωc)）。反映系统的响应速度：ωc\omega_cωc 越高，系统闭环带宽通常越大，响应越快（但可能牺牲稳定性）。
与截止频率的区别：
截止频率通常针对闭环系统或滤波器的幅频特性，而穿越频率针对开环系统的幅频特性。在闭环系统中，截止频率可能与开环穿越频率相关，但二者不等同。
3. 关键对比
特性截止频率（ωc\omega_cωc）穿越频率（ωc\omega_cωc 或 ωp\omega_pωp）定义场景闭环系统或滤波器的幅频特性开环系统的幅频特性（0 dB点或-180°相位点）幅值条件增益降至 -3 dB（0.707倍）增益 = 1（0 dB）或相位 = -180°用途表征系统带宽或滤波特性计算相位裕度、幅值裕度，分析稳定性典型系统低通/高通滤波器、闭环控制系统开环传递函数（奈奎斯特判据、伯德图分析）4. 示例说明
(1) 一阶低通系统
传递函数：G(s)=10.1s+1G(s)=\frac{1}{0.1s+1}G(s)=0.1s+11
截止频率：ωc=10.1=10rad/s\omega_c=\frac{1}{0.1}=10 rad/sωc=0.11=10rad/s（增益降至 -3 dB）。穿越频率：若作为开环系统，需解 ∣G(jωc)∣=1|G(j\omega_c)|=1∣G(jωc)∣=1，解得 ωc≈9.95rad/s\omega_c\approx9.95 rad/sωc≈9.95rad/s。
(2) 二阶系统
开环传递函数：G(s)=100s(s+10)G(s)=\frac{100}{s(s+10)}G(s)=s(s+10)100
增益穿越频率：通过伯德图找到 ∣G(jωc)∣=1|G(j\omega_c)|=1∣G(jωc)∣=1 的频率（例如 ωc≈6rad/s\omega_c\approx6 rad/sωc≈6rad/s）。相位穿越频率：找到相位为 -180° 的频率 ωp\omega_pωp（可能更高，如 30 rad/s）。
5. 工程意义
截止频率：用于设计滤波器或确定闭环系统的有效工作频带。穿越频率：
设计控制器时，需调整 ωc\omega_cωc 以平衡响应速度（高 ωc\omega_cωc）和稳定性（足够的PM）。例如，PID控制器设计中，常将 ωc\omega_cωc 设置在系统动态特性显著的频率附近。
二.系统的相对稳定及稳定裕度
1. 相对稳定性（Relative Stability）
定义：系统在稳定前提下，距离临界稳定状态（即系统处于不稳定边缘）的"距离"。相对稳定性越强，系统对抗扰动或参数变化的能力越强。意义：绝对稳定只回答"系统是否稳定"，而相对稳定性进一步量化"稳定程度"，反映系统的鲁棒性。
2. 稳定裕度（Stability Margins）
稳定裕度是量化相对稳定性的具体指标，包括 相位裕度 和 幅值裕度，通常通过开环系统的伯德图或奈奎斯特图计算。
(1) 相位裕度（Phase Margin, PM）
定义：在增益穿越频率（幅值穿越频率，ωc\omega_cωc）处，使系统达到临界稳定所需额外增加的相位滞后量。公式：PM=180°+ϕ(ωc)PM=180°+\phi(\omega_c)PM=180°+ϕ(ωc) 其中 ϕ(ωc)\phi(\omega_c)ϕ(ωc) 是开环系统在 ωc\omega_cωc 处的相位角。物理意义：
PM > 0°：系统稳定（通常要求PM ≥ 30°~60°）。PM越大，系统对相位变化的容忍度越高（如延迟或参数漂移）。
(2) 幅值裕度（Gain Margin, GM）
定义：在相位穿越频率（ωp\omega_pωp）处，使系统达到临界稳定所需额外增加的增益倍数（通常以分贝表示）。公式：GM=−20log10∣G(jωp)∣GM=-20\log_{10}|G(j\omega_p)|GM=−20log10∣G(jωp)∣ 其中 ωp\omega_pωp 是相位角为 -180° 时的频率。物理意义：
GM > 0 dB：系统稳定（通常要求GM ≥ 6 dB）。GM越大，系统对增益变化的鲁棒性越强。
3. 稳定裕度与系统性能的关系
动态响应：
PM影响超调量：PM较小（如<30°）时，系统阶跃响应可能出现较大超调或振荡。GM影响稳定性：GM不足时，增益增大（如元件老化）可能导致系统不稳定。
鲁棒性：足够的PM和GM能抵御模型不确定性、环境扰动或延迟。
4. 示例分析
伯德图判据：
稳定系统：PM > 0° 且 GM > 0 dB。临界稳定：PM = 0° 或 GM = 0 dB。
设计目标：通常要求PM ≥ 45°，GM ≥ 6 dB，以平衡响应速度和鲁棒性。
三.闭环系统的频域性能指标
1. 谐振峰值（MrM_rMr）（机械里面的共振就是系统频率幅值响应最大值处）
定义：闭环幅频特性曲线（∣T(jω)∣|T(j\omega)|∣T(jω)∣）的最大值。意义：
反映系统的相对稳定性。MrM_rMr 越大，系统超调量（时域）通常越大，稳定性越差。一般要求 Mr<1.5M_r<1.5Mr<1.5（对应时域超调量约 20%~30%）。
2. 谐振频率（ωr\omega_rωr）
定义：谐振峰值对应的频率。意义：
反映系统瞬态响应的速度。ωr\omega_rωr 越大，系统响应越快。
关系：与系统带宽正相关。
3. 带宽频率（ωb\omega_bωb）
定义：闭环幅频特性 ∣T(jω)∣|T(j\omega)|∣T(jω)∣ 下降到零频值（ω=0\omega=0ω=0）的 12\frac{1}{\sqrt{2}}21（即 -3dB）时的频率。意义：
衡量系统对高频信号的抑制能力。带宽越宽，系统快速性越好，但抗高频噪声能力越弱。通常希望带宽足够大以保证响应速度，但不过大以避免噪声敏感。
4. 截止频率（ωc\omega_cωc）
注意：闭环截止频率（ωb\omega_bωb）常与开环截止频率（开环增益穿越 0dB 的频率）混淆，需根据上下文区分。
5. 相位裕度（γ\gammaγ）与幅值裕度（hhh）
虽为开环指标，但直接影响闭环稳定性：
相位裕度 γ\gammaγ：开环幅频特性穿越 0dB 时，相位与 -180° 的差值。幅值裕度 hhh：相位穿越 -180° 时，幅值的倒数（dB 单位）。
闭环关联：足够的 γ\gammaγ 和 hhh 可避免闭环谐振峰值过大。
四.信号频谱
1. 频谱的类型
根据信号性质和分析方法，频谱主要分为：
频谱类型适用信号数学工具特点傅里叶级数频谱周期信号傅里叶级数（FS）离散频谱（仅基频及其谐波）傅里叶变换频谱非周期信号/瞬态信号傅里叶变换（FT）连续频谱（频率连续分布）功率谱密度随机信号（如噪声）自相关函数+傅里叶变换描述功率随频率的分布离散频谱数字信号（采样后）离散傅里叶变换（DFT/FFT）计算机处理的有限点频域表示
2. 关键频谱参数
(1) 频率成分
基频（Fundamental Frequency）：周期信号的最低频率（f0f_0f0）。谐波（Harmonics）：基频的整数倍频率（2f0,3f0,...2f_0,3f_0,...2f0,3f0,...）。边带（Sidebands）：调制信号产生的对称频率分量（如AM调制中的 fc±fmf_c\pm f_mfc±fm）。
(2) 频谱特征
幅度谱（Magnitude Spectrum）：各频率分量的幅值 ∣X(f)∣|X(f)|∣X(f)∣。相位谱（Phase Spectrum）：各频率分量的相位 ∠X(f)\angle X(f)∠X(f)。带宽（Bandwidth）：信号有效频率范围（如 -3dB 带宽）。
3.非周期信号处理
周期信号图：https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif
1. 全局傅里叶变换的限制
全局傅里叶变换计算的是信号在整个时间范围内的频率成分，它会假设信号是周期性的（对于有限时长的信号，会在信号两端做周期延拓），这导致它无法捕捉到信号随时间的局部频率变化，尤其对于非周期和非平稳信号，这样的变换并不适合。
2. 短时傅里叶变换（STFT）
为了处理这种情况，短时傅里叶变换（STFT）应运而生。STFT通过将信号分为多个短时段，每个短时段可以看作是平稳的，然后对每个时段应用傅里叶变换，从而得到信号的时间-频率表示。
过程：STFT是对信号进行分段处理，通常通过窗口函数（如汉明窗、矩形窗等）将信号分为短时信号，然后对每一段信号进行傅里叶变换，得到每个时间窗口内的频谱。其计算公式为：
X(t,f)=∫−∞∞x(τ)w(τ−t)e−j2πfτdτX(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) w(\tau - t) e^{-j 2 \pi f \tau} d\tauX(t,f)=∫−∞∞x(τ)w(τ−t)e−j2πfτdτ
其中，w(τ−t)w(\tau - t)w(τ−t) 是窗口函数，表示当前时刻 ttt 周围的信号片段。优点：STFT能够显示信号随时间变化的频率成分，可以在一定程度上解决非周期信号频谱分析的问题，特别适用于分析非平稳信号。缺点：STFT在时频分辨率上存在平衡问题。选择较大的窗口可以获得较好的频率分辨率，但时域分辨率差；反之，选择较小的窗口可以获得较好的时域分辨率，但频域分辨率差。因此，窗口大小的选择影响到时频分析的效果。
3. 小波变换
除了STFT，小波变换也是处理非平稳信号时常用的工具。小波变换通过对信号进行多尺度分析，可以在不同的尺度上对信号进行局部频谱分析。
过程：小波变换通过改变尺度（即时间窗口的宽度），分析信号在不同频率范围内的局部特性。小波变换不仅能够提供时间-频率的信息，还具有较好的时频分辨率，尤其在处理信号的瞬时特性（如突变、瞬时频率变化等）时，比STFT更为有效。
优点：小波变换不依赖于固定的窗口大小，具有多分辨率分析的能力，能够自适应地在时间上精细地捕捉信号的瞬时变化，在频率上也能较好地描述信号的低频和高频成分。
缺点：小波变换在实现上比STFT更为复杂，且选择合适的小波函数及尺度参数可能需要更多的经验或试验。
傅里叶变换适用于周期信号，无法直接用于非周期信号的局部分析。
**短时傅里叶变换（STFT）**通过时间窗口分割信号，能够对非周期信号进行时间-频率分析，但其在时频分辨率上存在折衷问题。
小波变换则通过多尺度分析对信号进行局部化频谱分析，是处理非平稳信号的强大工具，能够提供更好的时频分辨率。
参考链接：
https://blog.csdn.net/qq_39554681/article/details/89713484https://blog.csdn.net/huxyc/article/details/135683591https://blog.csdn.net/u011947630/article/details/81513075https://zhuanlan.zhihu.com/p/371477475